2021の素因数分解

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今日で2020年が終わり、明日から2021年になります。
そんな中、2021という数に関して面白い問題を見かけたので紹介します。

問題

2021を素因数分解せよ。

解説前のコメント

自力で考えたい人もいると思うので、解説の前にコメントを入れておきます。

まず、「素因数分解」が何か分からない人向けですが、素因数分解とは「指定された数を素数の積で表現すること」を意味します。
また、「素数」とは「1とその数以外の約数を持たない、2以上の正の整数」を意味します。
さらに、「約数」とは「指定された数を割り切る数」を意味します。

たとえば、素数の一例は 2, 3, 5, 7, 11, … のような数です。4 は 2 を約数として持ちますし、6 は 2, 3 を約数として持ちます。

ここで、簡単な素因数分解の例を見てみましょう。

$$
\begin{align*}
6 &= 2 \times 3 \\
105 &= 3 \times 5 \times 7 \\
12 &= 2^2 \times 3
\end{align*}
$$

12 の例を見ると分かりますが、「素数の積」で表すために素数の累乗が出てくることもあります。

さて、今回の問題は 2021 の素因数分解です。
軽く検証してみると、2, 3, 5, 7 といった小さな素数では割り切れないことが分かります。
練習問題で出てくるような単純な問題ではなさそうです。

…ここで、ある程度数学ができる人なら、このように問題を読み替えると手掛かりを掴めるかも知れません。

「2021 は素数か。」

解説

「2021 は素数か。」と問題を読み替えると、ある程度数学ができる人なら素数判定を行うための武器を思い浮かべられそうです。

ここで、2021 を以下のように変形します。

$$2021 = 2025 – 4$$

すると、「2乗 – 2乗」の因数分解ができるように見えてきた気がします。
実際、この式は以下のように変形できます。

$$
\begin{align*}
2021 &= 2025 – 4 \\
&= 45^2 – 2^2 \\
&= (45 – 2)(45+2) \\
&= 43 \times 47
\end{align*}
$$

43, 47 は素数なので、この問題の答えは以下のようになります。

$$2021 = 43 \times 47$$

力技では困難な問題ですが、少し発想を変えるとすんなり解ける面白い問題でした。
中学数学の知識以外は不要なので、高校入試で出てくるかもしれませんね。

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